Grundlagen 18: Was ist eine Formel?

Eine Formel sieht aus wie eine mathematische Gleichung, kommt aber (normalerweise) gänzlich ohne Zahlen aus. Das ist zunächst verwirrend, weil nicht sofort klar ist, was das eigentlich soll.
Aber:
Sie kennen sicherlich die Formel

E = mc²

Setzt man für die Masse m eine Zahl ein, hier z.B. 1 Gramm, und für die Lichtgeschwindigkeit 300000 km/s, dann erhält man
[E] = g × (300000000 × m/s)² = 9 × 10¹⁶ g × m²/s² = 9 × 10¹³ kg × m²/s² = 9 × 10¹³ Ws

1 g Masse = 25000 MWh

Die Formel beschreibt ganz einfach das Verhältnis von Masse zu Energie; oder, anders ausgedrückt, wieviel Energie ensteht, wenn man Masse vollständig in sie umwandelt (und umgekehrt).
Eine Formel soll also die Beziehung zwischen mehreren mathematischen oder physikalischen Größen beschreiben. Sie kommt dabei ohne Zahlen aus, weil sie für jeden Wert dieser Größen gilt. Und - sie gibt diesen Größen Namen, die immer aus einzelnen Buchstaben bestehen, die diese eindeutig beschreiben.
Andersherum ausgedrückt: Eine Formel ergibt nur dann Sinn, wenn klar ist, für welche Größen die Buchstaben ( = Formelzeichen) stehen.

Ein ganz einfaches Beispiel aus unserer "normalen" Welt:
Wir betrachten eine Leiter, auf der man in die Höhe steigen kann (nichts Schlimmes: dazu ist sie ja da). Die einzelnen Trittstufen haben einen bestimmten Abstand voneinander, der von Stufe zu Stufe gleich sein soll.
Wir bezeichnen den Abstand der Stufen (ganz willkürlich!!) mit "s" und die Höhe, auf die ich steigen will, mit "h". Die Anzahl der Stufen, die wir zum Erreichen der Höhe steigen müssen, bezeichnen wir mit "n".
Den gesamten, sehr umständlichen, bisherigen Text können wir in eine Formel fassen, wobei, wie oben schon gesagt, bekannt sein muß, wofür die folgenden Buchstaben stehen:

h = s × n

Wir kommen (bei der Formel) ohne jegliche Zahl aus, weil sie für alle Stufen-Anzahlen und alle Stufen-Höhen gilt. Weiterhin ist es (zunächst jedenfalls) uninteressant, mit welchem Maß wir messen, ob z.B. in cm oder in Zoll.
Jetzt wollen wir diese Formel "mit Leben füllen":
Dazu müssen wir zunächst die Maßeinheit festlegen, z.B. cm. Um jetzt h ausrechnen zu können, müssen wir s (den Stufenabstand) kennen und auch n (die Anzahl der Stufen). So wird, für s = 28 und n = 4:

h = 28 × 4 = 112

Was jetzt noch wichtig ist, ist eine "Einheitenbetrachtung". Hierbei geht es um die Maßeinheit von h, in unserem Beispiel also um Zentimeter oder Zoll.
Wenn wir s in cm angegeben haben und wir dies mit n (n ist eine Anzahl und hat daher keine Dimension) multiplizieren, muß logischerweise das Ergebnis h auch die Dimension "cm" haben. Aus Äpfeln werden nun mal keine Birnen!
Das wird dann so geschrieben:

[h] = 1 × cm

Dies nennt man Einheitengleichung. Sie beschreibt, welche Einheit h haben wird, nämlich cm. [h] bedeutet "die Einheit von h". Also ist die oben errechnete Höhe 112 cm.

Jetzt wird es etwas schwieriger:
Wir haben ein Auto, das in einer bestimmten Zeit eine bestimmte Strecke zurücklegt. Aus diesen beiden läßt sich seine Geschwindigkeit berechnen:

Auch hier haben wir für die Beschreibung der Zusammenhänge wieder keine Zahlen gebraucht, weil, wie oben schon erwähnt, dies für beliebige Strecken und Zeiten gilt.
Wir wählen für die Geschwindigkeit das Formelzeichen v, für die Strecke ein s, und für die Zeit das t.
Es ist ersichtlich, daß meine Geschwindigkeit nur halb so hoch sein kann, wenn ich für eine bestimmte Strecke die doppelte Zeit brauche. Also ergibt sich die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit zu:

v = s / t

Ein Zahlenbeispiel hierzu sparen wir uns. Interessant wird aber die Einheitengleichung. Wenn die Strecke in Kilometern (km) gemessen wird und die Zeit in Stunden (h), lautet die Gleichung:

[v] = km / h

Vielleicht kommt Ihnen das bekannt vor?

Für weitere Fragen stehen gern zur Verfügung:
- der MEC; Besichtigung und Fachsimpelei z.B. an unseren "Club-Abenden"
- der Autor: Hans Peter Kastner

erstellt am: 03.10.2017
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